Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$ comme $e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{\sin (x)}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}})$ en déplaçant $\frac{1}{x^{2}}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\ln (\frac{\sin (x)}{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x})}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2.2

Comme $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ et $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{0^{2}}}$

Étape 3.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{\sin (x)}{x})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{\sin (x)}{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 \frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\frac{x}{\sin (x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.9

Multipliez $\frac{x}{\sin (x)}$ par $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.10.1

Factorisez $x$ à partir de $\sin (x) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.10.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x (x \cos (x) - \sin (x))}{x \sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.10.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}}{2 x}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Étape 3.5

Combinez les facteurs.

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x \sin (x) \cdot 2 x}}$

Étape 3.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x \sin (x) \cdot 2}}$

Étape 3.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1} x^{1} \sin (x) \cdot 2}}$

Étape 3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{1 + 1} \sin (x) \cdot 2}}$

Étape 3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x) \cdot 2}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.6.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.2.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 5.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 5.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \sin (0)}}$

Étape 5.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0)}}$

Étape 5.1.3.5.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0}}$

Étape 5.1.3.5.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cos (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Étape 5.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.5

Simplifiez

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Étape 5.3.5.1

Associez des termes.

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Étape 5.3.5.1.1

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.5.1.2

Additionnez $x (- \sin (x))$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.5.2

Réorganisez les facteurs de $x (- \sin (x))$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}}$

Étape 5.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 5.3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}}$

Étape 5.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.2.5.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}}$

Étape 6.1.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \sin (x)}}$

Étape 6.1.3.6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 6.1.3.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.1.3.8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1.3.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.1.3.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.1.3.8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.1.3.8.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Étape 6.1.3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.3.9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Étape 6.1.3.9.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Étape 6.1.3.9.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}}$

Étape 6.1.3.9.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \sin (0)}}$

Étape 6.1.3.9.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 0}}$

Étape 6.1.3.9.1.6

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

Étape 6.1.3.9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 6.1.3.9.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 6.1.3.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 6.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.6

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cos (x) + \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

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Étape 6.3.9.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.9.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

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Étape 6.3.10.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}}$

Étape 6.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

Étape 6.3.10.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}}$

Étape 6.3.10.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}}$

Étape 6.3.10.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 (x \cos (x) + \sin (x))}}$

Étape 6.3.11

Simplifiez

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Étape 6.3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 x + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 6.3.11.2

Additionnez $\cos (x) (2 x)$ et $2 x \cos (x)$ .

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Étape 6.3.11.2.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 6.3.11.2.2

Additionnez $2 x \cos (x)$ et $2 x \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2} \cdot - 1 \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 6.3.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 7.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.6.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.2.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 7.1.3.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.1.3.10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1.3.10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.1.3.10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.1.3.10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.1.3.10.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.1.3.10.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.3.11.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11.1.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11.1.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 \cdot 1 + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11.1.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \sin (0)}}$

Étape 7.1.3.11.1.8

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 2 \cdot 0}}$

Étape 7.1.3.11.1.9

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0 + 0}}$

Étape 7.1.3.11.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 + 0}}$

Étape 7.1.3.11.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 7.1.3.11.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 7.1.3.12

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 7.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x \cos (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x \cos (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Étape 7.3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 7.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.5

Simplifiez

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Étape 7.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- x \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 7.3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.5.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - \cos (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.5.2.3

Soustrayez $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Étape 7.3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.7.2

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.7.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ .

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Étape 7.3.8.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.8.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.8.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}}$

Étape 7.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 7.3.9.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Étape 7.3.9.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x) + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

Étape 7.3.10

Simplifiez

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Étape 7.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 (x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}}$

Étape 7.3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - \sin (x) \cdot 2 x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Étape 7.3.10.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.10.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x + 4 x \cdot - 1 \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Étape 7.3.10.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Étape 7.3.10.3.3

Soustrayez $4 x \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) x$ .

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Étape 7.3.10.3.3.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Étape 7.3.10.3.3.2

Soustrayez $4 x \sin (x)$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}}$

Étape 7.3.10.3.4

Additionnez $4 \cos (x)$ et $2 \cos (x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x) - 2 \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Étape 8.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Étape 8.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Étape 8.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Étape 8.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Étape 8.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}}$

Étape 8.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Étape 8.8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Étape 8.9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Étape 8.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Étape 8.11

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Étape 8.12

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Étape 8.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}}$

Étape 8.14

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

Étape 8.15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 9.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 9.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 9.8

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cos (0)}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2 \cdot 1}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.1.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{- 0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 \cdot 1 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2.5

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 \cdot 0 + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2.7

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cos (0)}}$

Étape 10.2.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6 \cdot 1}}$

Étape 10.2.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 0 + 6}}$

Étape 10.2.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{0 + 6}}$

Étape 10.2.11

Additionnez $0$ et $6$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{6}}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{6}}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{3}}$

Étape 10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})}$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 10.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{1}{2 \cdot 3}}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$e^{- \frac{1}{6}}$

Étape 10.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{e^{\frac{1}{6}}}$

Forme décimale :

$0.84648172 \dots$