Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{3} - 15 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} - 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 x^{2} - 15 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 15$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{2} - 15$ .

$15 x^{2} - 15$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{2} - 15 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{2} - 15 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$15 x^{2} = 15$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $15 x^{2} = 15$ par $15$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $15 x^{2} = 15$ par $15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{15}{15}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $15$ par $15$ .

$x^{2} = 1$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $5 x^{3} - 15 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$5 {(1)}^{3} - 15 \cdot 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 - 15 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$5 - 15$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $15$ de $5$ .

$- 10$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$5 {(- 1)}^{3} - 15 \cdot - 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$5 \cdot - 1 - 15 \cdot - 1$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 - 15 \cdot - 1$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 15$ par $- 1$ .

$- 5 + 15$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $15$ .

$10$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 10), (- 1, 10)$

Étape 5