Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 lim_{x \to 4} x - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{2 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{4 x - x^{2}}{2 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 - 2 x}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Étape 1.3.8.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Étape 1.3.8.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Étape 1.3.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 1.3.8.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.8.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x + 4}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- (2 \sqrt{x}))$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) (- 2 \sqrt{x})$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to 4} (- 2 x + 4) \sqrt{x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$- 2 lim_{x \to 4} - 2 x + 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$- 2 (- lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Étape 2.6

Placez la limite sous le radical.

$- 2 (- 2 lim_{x \to 4} x + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$- 2 (- 2 \cdot 4 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 2 (- 8 + 4) \cdot \sqrt{4}$

Étape 4.2

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$- 2 \cdot - 4 \cdot \sqrt{4}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 \cdot \sqrt{4}$

Étape 4.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$8 \cdot 2$

Étape 4.6

Multipliez $8$ par $2$ .

$16$