Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $81$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{81 - 1 \cdot 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\frac{81 - 81}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $81$ de $81$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $1$ plus $- 6$

$\frac{0}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{0}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{0}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{0}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{0}{(2 x + 1) (x - 3)}$

Étape 3.3

Divisez $0$ par $(2 x + 1) (x - 3)$ .

$0$