Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}{x^{3} - 8}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}{x^{3} - 8}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}{x^{3} - 8}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{x^{3} - 8}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{x^{3} - 8}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{x^{3} - 8}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{x^{3} - 8}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{x^{3} - 8}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{0}{x^{3} - 2^{3}}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Étape 3.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 3.3

Divisez $0$ par $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$0$