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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 1.3.1
Multipliez par .
Étape 1.3.2
Multipliez par .
Étape 1.3.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2
Étape 2.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 2.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.1.2.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.4
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 2.1.2.5
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.1.2.6
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 2.1.2.6.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.6.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.6.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.7
Simplifiez la réponse.
Étape 2.1.2.7.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.2.7.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.7.1.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.7.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.7.1.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.7.2
Additionnez et .
Étape 2.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 2.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.3.2
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.3.3
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 2.1.3.4
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 2.1.3.4.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.3.4.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.3.4.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.3.5
Simplifiez la réponse.
Étape 2.1.3.5.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.3.5.2
Additionnez et .
Étape 2.1.3.5.3
Multipliez par .
Étape 2.1.3.5.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.1.3.6
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 2.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 2.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 2.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3
Évaluez .
Étape 2.3.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.4
Évaluez .
Étape 2.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.4.3
Multipliez par .
Étape 2.3.5
Simplifiez
Étape 2.3.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.3.5.2
Associez des termes.
Étape 2.3.5.2.1
Multipliez par .
Étape 2.3.5.2.2
Multipliez par .
Étape 2.3.5.2.3
Soustrayez de .
Étape 2.3.5.2.4
Additionnez et .
Étape 2.3.6
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.3.7
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.11
Multipliez par .
Étape 2.3.12
Simplifiez
Étape 2.3.12.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.3.12.2
Associez des termes.
Étape 2.3.12.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.3.12.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.3.12.2.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.3.12.2.4
Additionnez et .
Étape 2.3.12.2.5
Multipliez par .
Étape 2.3.12.2.6
Additionnez et .
Étape 2.3.12.2.7
Additionnez et .
Étape 3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4
Étape 4.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 4.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 4.1.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 4.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.1.3.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4.1.3.3
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 4.1.3.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4.1.3.5
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 4.1.3.5.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.3.5.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.3.6
Simplifiez la réponse.
Étape 4.1.3.6.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.3.6.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.1.3.6.1.2
Multipliez par .
Étape 4.1.3.6.1.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3.6.2
Additionnez et .
Étape 4.1.3.6.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.1.3.7
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 4.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 4.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 4.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.4
Évaluez .
Étape 4.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.4.3
Multipliez par .
Étape 4.3.5
Évaluez .
Étape 4.3.5.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.5.3
Multipliez par .
Étape 5
Étape 5.1
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 5.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 6
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 7
Étape 7.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 7.1.1
Multipliez par .
Étape 7.1.2
Additionnez et .
Étape 7.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 7.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.3
Réécrivez l’expression.