Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 2} \frac{t^{2} - 4}{t^{3} - 8}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 2} t^{2} - 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{t \to 2} t^{2} - lim_{t \to 2} 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{t \to 2} t)}^{2} - lim_{t \to 2} 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{t \to 2} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $2$ pour $t$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 2} t^{3} - lim_{t \to 2} 8}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $t^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} t)}^{3} - lim_{t \to 2} 8}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} t)}^{3} - 1 \cdot 8}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $2$ pour $t$ .

$\frac{0}{2^{3} - 1 \cdot 8}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 2} \frac{t^{2} - 4}{t^{3} - 8} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [- 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t + 0}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} - 8$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 8]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 8]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2} + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $3 t^{2}$ et $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $t$ et $t^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $t$ à partir de $2 t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{3 t^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $t$ à partir de $3 t^{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{t (3 t)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{t (3 t)}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to 2} \frac{2}{3 t}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{2}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{2}{3} lim_{t \to 2} \frac{1}{t}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 2} 1}{lim_{t \to 2} t}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 2} t}$

Étape 3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $2$ pour $t$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$