Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 8} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{t \to 8} \sqrt{t} + lim_{t \to 8} t^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + lim_{t \to 8} t^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - t^{2}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{lim_{t \to 8} 2 t - lim_{t \to 8} t^{2}}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - lim_{t \to 8} t^{2}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 8} t} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $8$ pour $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $8$ pour $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{2 lim_{t \to 8} t - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $8$ pour $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - {(lim_{t \to 8} t)}^{2}}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $t$ en insérant $8$ pour $t$ .

$\frac{\sqrt{8} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Étape 9.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Étape 9.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2} + 8^{2}}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Étape 9.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{2 \cdot 8 - 8^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{16 - 8^{2}}$

Étape 9.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{16 - 1 \cdot 64}$

Étape 9.2.3

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{16 - 64}$

Étape 9.2.4

Soustrayez $64$ de $16$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 64}{- 48}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} + 64$ et $- 48$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 64}{- 48}$

Étape 9.3.2

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \cdot 32}{- 48}$

Étape 9.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2} + 2 \cdot 32$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{- 48}$

Étape 9.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 48$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{2 (- 24)}$

Étape 9.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 32)}{2 \cdot - 24}$

Étape 9.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} + 32}{- 24}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{2} + 32}{24}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2} + 32}{24}$

Forme décimale :

$- 1.39225889 \dots$