Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.5.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - \sin (x)}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 1 \sin (x)}$

Étape 1.3.5.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \sin (x)}$

Étape 1.3.6

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x)}$

Étape 2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 3.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 4.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$2 \sec (0)$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$