Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{π - π}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - 1}{4 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x - π]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 1.3.8

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $4$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{4}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x) \cdot 4}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Étape 4.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{4 \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{4 \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 4.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4 (\frac{2}{4})}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.4

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 4.5

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$