Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\frac{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - 3 x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{π - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{π - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\frac{0}{π - 3 \frac{π}{3}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{0}{π + 3 (- 1) \frac{π}{3}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{π + 3 \cdot - 1 \frac{π}{3}}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{π - π}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1 - 2 \cos (x)}{π - 3 x} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 - 2 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{0 + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π - 3 x]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 1.3.7

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3 \cdot 1}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{0 - 3}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $3$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sin (x)}{- 3}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{2}{- 3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{- 3} lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{2}{- 3} \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\frac{2}{- 3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} \sqrt{3}$

Étape 4.4

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$- 0.57735026 \dots$