Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{7 - 7 \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 - 7 \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 - lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{7 - lim_{x \to \frac{π}{4}} 7 \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 - 7 lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{7 - 7 \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{7 - 7 \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{7 - 7 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $7$ de $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}$

Étape 1.1.3.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 1.1.3.5.3

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Étape 1.1.3.5.4

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{7 - 7 \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 7 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 \tan (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - 7 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - 7 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Soustrayez $7 \sec^{2} (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 7 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.5.5

Associez $- 7$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{- 7}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 1.3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.8.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) - - \sin (x)}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) + 1 \sin (x)}$

Étape 1.3.8.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \frac{7}{\cos^{2} (x)}}{\cos (x) + \sin (x)}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \frac{7}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ par $\frac{7}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \frac{7}{(\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{7}{(\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Étape 2.2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 7 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$- 7 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$- 7 \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$- 7 \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$- 7 \frac{1}{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)}$

Étape 2.9

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}}$

Étape 2.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 7 \frac{1}{(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez par $1$ .

$- 7 \frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot (\cos^{2} (\frac{π}{4}) \cdot 1)}$

Étape 4.2

Séparez les fractions.

$- 7 (\frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})})$

Étape 4.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})}$ à $\sec^{2} (\frac{π}{4})$ .

$- 7 (\frac{1}{(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.4

Multipliez $\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})$ par $1$ .

$- 7 (\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.5.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.5.4

Réécrivez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.5.4.1

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$- 7 (\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.5.4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.5.4.2.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.5.4.2.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 7 (\frac{1}{\sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \sec^{2} (\frac{π}{4}))$

Étape 4.8

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2})$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2})$

Étape 4.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.10.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2})$

Étape 4.10.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2})$

Étape 4.10.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2})$

Étape 4.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2})$

Étape 4.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2})$

Étape 4.10.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2})$

Étape 4.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2})$

Étape 4.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})$

Étape 4.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})$

Étape 4.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2})$

Étape 4.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2})$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2})$

Étape 4.11.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 4.12

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.12.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 4.12.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 4.12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Étape 4.12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.12.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Étape 4.12.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2^{1})$

Étape 4.12.5

Évaluez l’exposant.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2)$

Étape 4.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.13.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2)$

Étape 4.13.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 7 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$- 9.89949493 \dots$