Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} \sin (3 h)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{h \to 0} h)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{\sin (3 h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d h} [\sin (3 h)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \sin (h)$ et $g (h) = 3 h$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [3 h]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \frac{d}{d h} [3 h]}$

Étape 1.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $3 h$ par rapport à $h$ est $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \frac{d}{d h} [h])}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) (3 \cdot 1)}$

Étape 1.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h) \cdot 3}$

Étape 1.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 \cos (3 h)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (3 h)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos (3 h)}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{h \to 0} 3 h)}$

Étape 2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{h \to 0} h)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ à $\sec (3 \cdot 0)$ .

$\frac{1}{3} \sec (3 \cdot 0)$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \sec (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$