Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(1 - \cos (h))}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{h \to 0} h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{2}$ et $g (h) = 1 - \cos (h)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (h)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $1$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [- \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \cos (h)$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (- \frac{d}{d h} [\cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [\cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.8

La dérivée de $\cos (h)$ par rapport à $h$ est $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) (- \sin (h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (h))) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.10.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) - 2 \cos (h) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} - 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 lim_{h \to 0} \sin (h)$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Étape 4.1.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$