Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - 6 x^{2} + x^{3})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$(lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$(1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 4

Placez la limite sous le radical.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Étape 6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 8} 6 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Étape 7

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{3})$

Étape 9

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{3})$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$(1 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Étape 11.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$(1 + 2) \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Étape 11.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3})$

Étape 11.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 64 + 8^{3})$

Étape 11.3.2

Multipliez $- 6$ par $64$ .

$3 \cdot (2 - 384 + 8^{3})$

Étape 11.3.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot (2 - 384 + 512)$

Étape 11.4

Soustrayez $384$ de $2$ .

$3 \cdot (- 382 + 512)$

Étape 11.5

Additionnez $- 382$ et $512$ .

$3 \cdot 130$

Étape 11.6

Multipliez $3$ par $130$ .

$390$