Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{3}} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{4 + \frac{6}{x}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.1.2

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.9

Simplifiez

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Étape 4.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 5

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Étape 8.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun à $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ et $4 + 6 \cdot 0$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{1}{2} \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Étape 10.1.2

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Étape 10.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Étape 10.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 6 \cdot 0}$

Étape 10.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 2 (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (3 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ et $2 + 3 \cdot 0$ .

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Étape 10.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Étape 10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $\frac{1}{2} \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Étape 10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Étape 10.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Étape 10.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 3}$

Étape 10.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $0 \cdot 3$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 3)}$

Étape 10.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (0 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Étape 10.2.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Étape 10.2.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Étape 10.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 3}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Étape 10.4.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 10.5

Divisez $0$ par $1$ .

$0$