Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $8 h x$ et $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (4 x^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez $4 h^{2}$ comme ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Étape 4.1.1.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 h$ et $b = 2 x$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - {(2 x)}^{2}}{h}$

Étape 4.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 h + 2 x$ et $b = 2 x$ .

$\frac{(2 h + 2 x + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 h + 4 x$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 h$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Étape 4.1.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{(2 h + 2 (2 x)) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Étape 4.1.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 h + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - 2 x)}{h}$

Étape 4.1.5

Associez les termes opposés dans $2 h + 2 x - 2 x$ .

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Étape 4.1.5.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 0)}{h}$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $2 h$ et $0$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h)}{h}$

$\frac{2 (h + 2 x) \cdot 2 h}{h}$

Étape 4.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $4 (h + 2 x)$ par $1$ .

$4 (h + 2 x)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 h + 4 (2 x)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 h + 8 x$

Étape 4.2.3.2

Remettez dans l’ordre $4 h$ et $8 x$ .

$8 x + 4 h$

Étape 5