Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$ .

$\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{{(x + h)}^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}}{h}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + h$ et $b = x$ .

$\frac{\frac{(x + h + x) (x + h - x)}{2}}{h}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x + h - x)}{2}}{h}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (h + 0)}{2}}{h}$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $h$ et $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) h}{2}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(2 x + h) h}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $(2 x + h) h$ .

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + h}{2}$

Étape 5