Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $- \frac{1}{x + h}$ .

$- \frac{1}{x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h} - (- \frac{1}{x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $- - \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + 1 \frac{1}{x}}{h}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{h}$

Étape 4.1.3

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$\frac{- \frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- x + x + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\frac{- x + x + h}{x (x + h)}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\frac{0 + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.2

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{\frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (x + h)}$

Étape 5