Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = a {(x + h)}^{2} + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = a ((x + h) (x + h)) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = a (x (x + h) + h (x + h)) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h (x + h)) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = a x^{2} + a (2 h x) + a h^{2} + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b (x + h) + c$

Étape 2.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $b x$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b h + b x + c$

Étape 2.2.2

Déplacez $a x^{2}$ .

$2 a h x + a h^{2} + a x^{2} + b h + b x + c$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $2 a h x$ et $a h^{2}$ .

$a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2} + b x + c)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2}) - (b x) - c}{h}$

Étape 4.1.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - a x^{2} - b x - c}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $a x^{2}$ de $a x^{2}$ .

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + b h + b x + c + 0 - b x - c}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $a h^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 a h x + b h + b x + c + a h^{2} - b x - c}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $b x$ de $b x$ .

$\frac{2 a h x + b h + c + a h^{2} + 0 - c}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $2 a h x$ et $0$ .

$\frac{b h + c + a h^{2} + 2 a h x - c}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $c$ de $c$ .

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $b h + a h^{2} + 2 a h x$ et $0$ .

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $b h + a h^{2} + 2 a h x$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $b h$ .

$\frac{h b + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $a h^{2}$ .

$\frac{h (b) + h (a (h)) + 2 a h x}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $2 a h x$ .

$\frac{h (b) + h (a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (b) + h (a (h))$ .

$\frac{h (b + a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (b + a (h)) + h (2 a x)$ .

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $b + a h + 2 a x$ par $1$ .

$b + a h + 2 a x$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $b$ .

$a h + 2 a x + b$

Étape 4.2.2.2

Remettez dans l’ordre $a h$ et $2 a x$ .

$2 a x + a h + b$

Étape 5