Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Étape 6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 7$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Simplifiez

$5 (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $5$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun à $20$ et $5$ .

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Étape 8.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 (1)} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.4

Associez $- 7$ et $\frac{4}{7}$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 7 \cdot 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.5

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 28}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.6

Annulez le facteur commun à $- 28$ et $7$ .

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Étape 8.2.6.1

Factorisez $7$ à partir de $- 28$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.6.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 (1)} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 \cdot 1} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 8.2.6.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$