Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

Étape 3

Laissez $u = 4 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 4 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 3.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

Étape 4

Développez $- (- u + 4) u^{2}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Étape 4.3

Déplacez les parenthèses.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Étape 4.5

Multipliez $u$ par $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Étape 4.6

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Étape 4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Étape 4.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Étape 7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$