Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 5 x) d x$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 6 + 5 x$ et $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 + 5 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Étape 4.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 5 d x$

Étape 4.3

Associez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $5$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3} d x$

Étape 4.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 5

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{10}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{10}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{10}{3}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 10}{5 \cdot 3} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $10$ par $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Étape 7.2.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 7.2.5

Factorisez $5$ à partir de $20 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Étape 7.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

Étape 7.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

Étape 7.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Étape 7.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Étape 7.2.8

Soustrayez $4 x^{\frac{5}{2}}$ de $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Étape 7.2.9

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

Étape 7.2.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

Étape 7.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Étape 7.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Étape 7.2.10.4

Divisez $2 x^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$