Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Étape 7.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Étape 8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

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$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Étape 10.2.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

Étape 10.2.3

Associez $9$ et $\frac{x^{6}}{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

Étape 10.2.4

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 10.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

Étape 10.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

Étape 10.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

Étape 10.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$