Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (π x)$

Étape 1

Écrivez $\cos (π x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos (π x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos (π x) d x$

Étape 4

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 4.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} \int \cos (u) d u$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{π} \sin (u) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos (π x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) + C$