Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{8 \sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{8 \sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{8 \sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $2$ .

$\frac{2}{8} x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{8 \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C$