Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

Étape 4

Retirez $x^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

Étape 6

Développez $(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 6.4

Soustrayez $6$ de $3$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

Étape 6.6

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

Étape 6.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

Étape 6.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

Étape 6.9

Remettez dans l’ordre $5 x^{- 6}$ et $- 4 x^{- 3}$ .

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Étape 8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Étape 10.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Étape 11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $x^{- 5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

Étape 13.2

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$