Calcul infinitésimal Exemples

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = 5 \cos (t)$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $5 \cos (t) = x$ .

$5 \cos (t) = x$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $5 \cos (t) = x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (t) = x$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\cos (t)$ par $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

Étape 5

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Étape 6

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Étape 7

Simplifiez $5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ .

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Étape 7.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 7.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (\frac{x}{5})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Étape 7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Étape 7.3

Simplifiez les termes.

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Étape 7.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Étape 7.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Étape 7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Étape 7.3.5

Multipliez $\frac{5 + x}{5}$ par $\frac{5 - x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Étape 7.3.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Étape 7.4

Réécrivez $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ comme ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(5 + x) (5 - x)$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Étape 7.4.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Étape 7.4.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Étape 7.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

Étape 7.6

Associez $\frac{1}{5}$ et $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.7.1

Annulez le facteur commun.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Étape 7.7.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$