Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

Étape 1

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 12 x + 9$ et $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 12 x + 9$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 6.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Étape 6.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 3, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 3, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (3) - 12$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 - 12$

Étape 10.2

Soustrayez $12$ de $18$ .

$6$

Étape 11

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 27 - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

Étape 12.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 27 - 6 \cdot 9 + 9 (3) + 1$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$f (3) = 27 - 54 + 9 (3) + 1$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (3) = 27 - 54 + 27 + 1$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f (3) = - 27 + 27 + 1$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$f (3) = 0 + 1$

Étape 12.2.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (3) = 1$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (1) - 12$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - 12$

Étape 14.2

Soustrayez $12$ de $6$ .

$- 6$

Étape 15

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

Étape 16.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 9 (1) + 1$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 6 + 9 (1) + 1$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 6 + 9 + 1$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.2.1

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (1) = - 5 + 9 + 1$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$f (1) = 4 + 1$

Étape 16.2.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (1) = 5$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ .

$(3, 1)$ est un minimum local

$(1, 5)$ est un maximum local

Étape 18