Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (2 x)$

Étape 1

Écrivez $\cos (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) \cdot 1$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 \sin (2 x) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 x) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 x) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 10.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 10.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 11

La solution de l’équation est $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \cos (2 (0))$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- 4 \cos (0)$

Étape 13.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 13.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 14

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \cos (2 (0))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Étape 15.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 17.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 \cos (π)$

Étape 17.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 4 (- \cos (0))$

Étape 17.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.4

Multipliez $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Étape 17.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4$

Étape 18

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 19.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (π)$

Étape 19.2.2

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (0)$

Étape 19.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Étape 19.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Étape 19.2.5

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \cos (2 x)$ .

$(0, 1)$ est un maximum local

$(\frac{π}{2}, - 1)$ est un minimum local

Étape 21