Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 8 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $x^{4} - 8 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 16 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 6.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 6.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} - 16$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 - 16$

Étape 10.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 16$

Étape 10.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$- 16$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 2)}^{2} - 16$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 4 - 16$

Étape 14.1.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$48 - 16$

Étape 14.2

Soustrayez $16$ de $48$ .

$32$

Étape 15

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Étape 16.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 16 - 8 \cdot 4$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f (- 2) = 16 - 32$

Étape 16.2.2

Soustrayez $32$ de $16$ .

$f (- 2) = - 16$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$y = - 16$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(2)}^{2} - 16$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 4 - 16$

Étape 18.1.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$48 - 16$

Étape 18.2

Soustrayez $16$ de $48$ .

$32$

Étape 19

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2}$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 16 - 8 {(2)}^{2}$

Étape 20.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 16 - 8 \cdot 4$

Étape 20.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f (2) = 16 - 32$

Étape 20.2.2

Soustrayez $32$ de $16$ .

$f (2) = - 16$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$y = - 16$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(- 2, - 16)$ est un minimum local

$(2, - 16)$ est un minimum local

Étape 22