Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Étape 1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 2.11.2

Multipliez $6$ par $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 2.11.3

Factorisez $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ à partir de $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

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Étape 2.11.3.1

Factorisez $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ à partir de $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ à partir de $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ à partir de $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

Étape 2.11.4

Additionnez $6 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.5

Réécrivez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ comme $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.6

Développez $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.11.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.7.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.7.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.7.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.7.1.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.7.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.7.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.9

Simplifiez

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Étape 2.11.9.1

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.9.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

Étape 2.11.10

Développez $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.11.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.3

Multipliez $8$ par $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.11.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.7

Multipliez $- 16$ par $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.8

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.9

Multipliez $7$ par $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

Étape 2.11.11.10

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Étape 2.11.12

Soustrayez $112 x^{4}$ de $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Étape 2.11.13

Additionnez $16 x^{2}$ et $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Étape 4.1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Étape 5.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4

Définissez ${(x^{2} - 1)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez ${(x^{2} - 1)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

Étape 5.4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

Étape 5.4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 5.4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 5.4.2.3

Définissez ${(x + 1)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Définissez ${(x + 1)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 5.4.2.3.2

Résolvez ${(x + 1)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.3.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.4.2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.4.2.4

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 5.4.2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.4.2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Étape 9.1.2

Multipliez $56$ par $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 120$ par $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Étape 9.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

Étape 9.1.6

Multipliez $72$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 - 8$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 8$

Étape 9.2.3

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

Étape 11.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (0) = 1$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Étape 13.1.2

Multipliez $56$ par $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Étape 13.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 120$ par $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Étape 13.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

Étape 13.1.6

Multipliez $72$ par $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $120$ de $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 64$ et $72$ .

$8 - 8$

Étape 13.2.3

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.2.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

Étape 14.2.2.3

Soustrayez $1$ de $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

Étape 14.2.2.4

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

Étape 14.2.2.5

Multipliez $- 32$ par $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

Étape 14.2.2.6

La réponse finale est $- 108000$ .

$- 108000$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Multipliez $8$ par $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.3.2.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Étape 14.3.2.3

Soustrayez $1$ de $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

Étape 14.3.2.4

Élevez $- 0.75$ à la puissance $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

Étape 14.3.2.5

Multipliez $- 4$ par $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

Étape 14.3.2.6

La réponse finale est $1.6875$ .

$1.6875$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Multipliez $8$ par $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.4.2.2

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Étape 14.4.2.3

Soustrayez $1$ de $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

Étape 14.4.2.4

Élevez $- 0.75$ à la puissance $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

Étape 14.4.2.5

Multipliez $4$ par $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

Étape 14.4.2.6

La réponse finale est $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.5.2.1

Multipliez $8$ par $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 14.5.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

Étape 14.5.2.3

Soustrayez $1$ de $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

Étape 14.5.2.4

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

Étape 14.5.2.5

Multipliez $32$ par $3375$ .

$f' (4) = 108000$

Étape 14.5.2.6

La réponse finale est $108000$ .

$108000$

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un minimum local.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 14.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

$x = - 1$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

Étape 15