Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) ((x - 3) (x - 3))]$

Étape 1.2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 6 x + 9)]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.5.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.5.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Étape 1.5.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Étape 1.5.11.2

Multipliez $x^{2} - 6 x + 9$ par $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4

Associez des termes.

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Étape 1.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.6

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.7

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.8

Soustrayez $6 x$ de $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Étape 1.6.4.10

Soustrayez $6 x$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Étape 1.6.4.11

Additionnez $12$ et $9$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 16 x + 21$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (21)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (21)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (21)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x - 16$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) ((x - 3) (x - 3)))$

Étape 4.1.2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3)))$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)))$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9))$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

Étape 4.1.4

$f' (x) = (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5

Différenciez.

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Étape 4.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = (x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Étape 4.1.5.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Étape 4.1.5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Étape 4.1.5.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Étape 4.1.5.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.5.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Étape 4.1.5.11.2

Multipliez $x^{2} - 6 x + 9$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.6

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.7

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.8

Soustrayez $6 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Étape 4.1.6.4.10

Soustrayez $6 x$ de $- 10 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Étape 4.1.6.4.11

Additionnez $12$ et $9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 21$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 16 x + 21$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Étape 5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 21 = 63$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 7$ plus $- 9$

$3 x^{2} + (- 7 - 9) x + 21 = 0$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 7 x - 9 x + 21 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 7 x) - 9 x + 21 = 0$

Étape 5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 7) - 3 (3 x - 7) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x - 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $3 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 5.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 7) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{7}{3}) - 16$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{7}{3} - 16$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 16$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 7 - 16$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 - 16$

Étape 9.2

Soustrayez $16$ de $14$ .

$- 2$

Étape 10

$x = \frac{7}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{7}{3}) = ((\frac{7}{3}) - 2) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Étape 11.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Étape 11.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 6}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Étape 11.2.4.2

Soustrayez $6$ de $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Étape 11.2.5

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Étape 11.2.6

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 11.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 11.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.8.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 9}{3})}^{2}$

Étape 11.2.8.2

Soustrayez $9$ de $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{- 2}{3})}^{2}$

Étape 11.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}$

Étape 11.2.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.10.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 11.2.10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Étape 11.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.11.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Étape 11.2.11.2

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Étape 11.2.12

Associez.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Étape 11.2.13

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.13.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 11.2.13.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Étape 11.2.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{1 + 2}}$

Étape 11.2.13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{3}}$

Étape 11.2.14

Multipliez $2^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{3}}$

Étape 11.2.15

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{3^{3}}$

Étape 11.2.16

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{27}$

Étape 11.2.17

La réponse finale est $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (3) - 16$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 - 16$

Étape 13.2

Soustrayez $16$ de $18$ .

$2$

Étape 14

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = ((3) - 2) {((3) - 3)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (3) = 1 {((3) - 3)}^{2}$

Étape 15.2.2

Multipliez ${((3) - 3)}^{2}$ par $1$ .

$f (3) = {((3) - 3)}^{2}$

Étape 15.2.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (3) = 0^{2}$

Étape 15.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (3) = 0$

Étape 15.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$ .

$(\frac{7}{3}, \frac{4}{27})$ est un maximum local

$(3, 0)$ est un minimum local

Étape 17