Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = x^{2} - 12 x - 72$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x - 72] + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12 x - 72$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$(x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.6

Comme $- 72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 72$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.7

Additionnez $2 x - 12$ et $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.10

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

Étape 1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

Étape 1.2.11.2

Multipliez $x^{2} - 12 x - 72$ par $1$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4

Associez des termes.

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Étape 1.3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.6

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.7

Multipliez $- 6$ par $- 12$ .

$2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.8

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

Étape 1.3.4.10

Soustrayez $12 x$ de $- 24 x$ .

$3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

Étape 1.3.4.11

Soustrayez $72$ de $72$ .

$3 x^{2} - 36 x + 0$

Étape 1.3.4.12

Additionnez $3 x^{2} - 36 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 36 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 36 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = (x - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x - 72) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12 x - 72$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f' (x) = (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 72$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2.7

Additionnez $2 x - 12$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Étape 4.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))$

Étape 4.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))$

Étape 4.1.2.10

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

Étape 4.1.2.11.2

Multipliez $x^{2} - 12 x - 72$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4

Associez des termes.

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Étape 4.1.3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.5

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.6

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.7

Multipliez $- 6$ par $- 12$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.8

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

Étape 4.1.3.4.10

Soustrayez $12 x$ de $- 24 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

Étape 4.1.3.4.11

Soustrayez $72$ de $72$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 0$

Étape 4.1.3.4.12

Additionnez $3 x^{2} - 36 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 36 x$ .

$3 x^{2} - 36 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 36 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 36 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 36 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 36 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 36 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 12) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 12)$ .

$3 x (x - 12) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 12 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 12$ égal à $0$ .

$x - 12 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 12) = 0$ vraie.

$x = 0, 12$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 12$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (0) - 36$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 36$

Étape 9.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$- 36$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = ((0) - 6) ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f (0) = - 6 ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 6 (0 - 12 \cdot 0 - 72)$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f (0) = - 6 (0 + 0 - 72)$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = - 6 (0 - 72)$

Étape 11.2.3.2

Soustrayez $72$ de $0$ .

$f (0) = - 6 \cdot - 72$

Étape 11.2.3.3

Multipliez $- 6$ par $- 72$ .

$f (0) = 432$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $432$ .

$y = 432$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 12$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (12) - 36$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $12$ .

$72 - 36$

Étape 13.2

Soustrayez $36$ de $72$ .

$36$

Étape 14

$x = 12$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 12$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 12$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f (12) = ((12) - 6) ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Soustrayez $6$ de $12$ .

$f (12) = 6 ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

Étape 15.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f (12) = 6 (144 - 12 \cdot 12 - 72)$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $- 12$ par $12$ .

$f (12) = 6 (144 - 144 - 72)$

Étape 15.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.3.1

Soustrayez $144$ de $144$ .

$f (12) = 6 (0 - 72)$

Étape 15.2.3.2

Soustrayez $72$ de $0$ .

$f (12) = 6 \cdot - 72$

Étape 15.2.3.3

Multipliez $6$ par $- 72$ .

$f (12) = - 432$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $- 432$ .

$y = - 432$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$ .

$(0, 432)$ est un maximum local

$(12, - 432)$ est un minimum local

Étape 17