Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 16$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 16) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.3.2.2

Additionnez $- 32 x$ et $0$ .

$\frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.6.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Étape 1.6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$- \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Étape 1.6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.2

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez ${(x + 4)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 4)}^{2}$ et $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez.

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Étape 2.6.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez.

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Étape 2.8.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.5

Associez les fractions.

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Étape 2.8.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.5.3

Associez $- 32$ et $\frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.8.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(32) ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Appliquez la règle de produit à ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) - x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.4.1

Factorisez $32 (x + 4) (x - 4)$ à partir de $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ .

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Étape 2.9.4.1.1

Factorisez $32 (x + 4) (x - 4)$ à partir de $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.1.2

Factorisez $32 (x + 4) (x - 4)$ à partir de $32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.1.3

Factorisez $32 (x + 4) (x - 4)$ à partir de $32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.1.4

Factorisez $32 (x + 4) (x - 4)$ à partir de $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.1.5

Factorisez $32 (x + 4) (x - 4)$ à partir de $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4)) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.2

Associez les exposants.

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Étape 2.9.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.4.3.1

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x (x - 4) + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.4.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.4.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.3.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.4.3.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.6

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.4.3.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.3.9

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x$ .

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Étape 2.9.4.4.1

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.4.2

Additionnez $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.5

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- x^{2} - 16 - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.4.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.5

Associez des termes.

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Étape 2.9.5.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.9.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.9.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.9.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.9.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.9.5.3

Annulez le facteur commun à $x + 4$ et ${(x + 4)}^{4}$ .

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Étape 2.9.5.3.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.9.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.5.3.2.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 2.9.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 2.9.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.9.5.4

Annulez le facteur commun à $x - 4$ et ${(x - 4)}^{4}$ .

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Étape 2.9.5.4.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $32 (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.9.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.5.4.2.1

Factorisez $x - 4$ à partir de ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Étape 2.9.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Étape 2.9.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.9.7

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.9.9

Réécrivez $- (3 x^{2} + 16)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 1 (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.9.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.9.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}})$

Étape 2.9.12

Multipliez $\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 4.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.3.2.2

Additionnez $- 32 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.6.5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Étape 4.1.6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$32 x = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $32 x = 0$ par $32$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $32 x = 0$ par $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{32}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $32$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.2.1

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 6.2.2.2

Résolvez ${(x + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 6.2.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6.2.3

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.3.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.2.3.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.2.3.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{32 (3 {(0)}^{2} + 16)}{{((0) + 4)}^{3} {((0) - 4)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{32 (3 \cdot 0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{32 (0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Additionnez $0$ et $16$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 (0) + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot (0 - 4))}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.2.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 \cdot (0 - 4)$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Étape 9.2.6

Multipliez ${(0 - 4)}^{3}$ par ${(0 - 4)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.6.1

Déplacez ${(0 - 4)}^{3}$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot ({(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3})}$

Étape 9.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3 + 3}}$

Étape 9.2.6.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

Étape 9.3

Multipliez $32$ par $16$ .

$\frac{512}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

Étape 9.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.1

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{512}{- 1 {(- 4)}^{6}}$

Étape 9.4.2

Élevez $- 4$ à la puissance $6$ .

$\frac{512}{- 1 \cdot 4096}$

Étape 9.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.5.1

Multipliez $- 1$ par $4096$ .

$\frac{512}{- 4096}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun à $512$ et $- 4096$ .

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Étape 9.5.2.1

Factorisez $512$ à partir de $512$ .

$\frac{512 (1)}{- 4096}$

Étape 9.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.2.2.1

Factorisez $512$ à partir de $- 4096$ .

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

Étape 9.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

Étape 9.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 8}$

Étape 9.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 16}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 16}$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 16}$

Étape 11.2.3

Divisez $0$ par $- 16$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

Étape 13