Calcul infinitésimal Exemples

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ comme ${\displaystyle x^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=-1}$.

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Remettez les termes dans l’ordre.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ comme ${\displaystyle x^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=-1}$.

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{x^2}}$.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ comme ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=2}$.

Comme ${\displaystyle -1}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -1}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Multipliez les exposants dans ${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-2}}$.

Multipliez ${\displaystyle 2}$ par ${\displaystyle -1}$.

Élevez ${\displaystyle x}$ à la puissance ${\displaystyle 1}$.

Utilisez la règle de puissance ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ pour associer des exposants.

Soustrayez ${\displaystyle 4}$ de ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle -2}$ par ${\displaystyle -1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ par ${\displaystyle 0}$.

Additionnez ${\displaystyle 2x^{-3}}$ et ${\displaystyle 0}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle \frac{1}{x}+\ln \left(x\right)}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]+\frac{d}{dx}\left[\ln \left(x\right)\right]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]}$.

La dérivée de ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Simplifiez

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Comme ${\displaystyle x,x^2,1}$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique ${\displaystyle 1,1,1}$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable ${\displaystyle x^1,x^2}$.

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

Le nombre ${\displaystyle 1}$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle 1,1,1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

Le facteur pour ${\displaystyle x^1}$ est ${\displaystyle x}$ lui-même.

Les facteurs pour ${\displaystyle x^2}$ sont ${\displaystyle x\cdot x}$, qui correspond à ${\displaystyle x}$ multipliés entre eux ${\displaystyle 2}$ fois.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle x^1,x^2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

Multipliez ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle x}$.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=0}$ par ${\displaystyle x^2}$.

Simplifiez le côté gauche.

Simplifiez le côté droit.

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

Simplifiez ${\displaystyle \pm \sqrt{0}}$.

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 1}$.

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Divisez ${\displaystyle 2}$ par ${\displaystyle 1}$.

Simplifiez chaque terme.

Additionnez ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 0}$.

La réponse finale est ${\displaystyle 1}$.