Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $1 + x^{4}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.4

Soustrayez $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + 0) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $- 12 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) (4 \cdot ((x^{4} + 1) x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 8 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 12 {(x^{4} + 1)}^{2} x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez ${(x^{4} + 1)}^{2}$ comme $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 ((x^{4} + 1) (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3

Développez $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} (x^{4} + 1) + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.2

Additionnez $x^{4}$ et $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + 2 x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 12 (2 x^{4}) - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.6.1

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{8} x^{3} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{3} x^{8}) - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{3 + 8} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $3$ et $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 (x^{3} x^{4}) - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{3 + 4} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.10.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.10.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4 + 3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.1.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11

Développez $(24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} (x^{7} + x^{3}) - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 (x^{7} x^{4}) + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{7 + 4} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $7$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{3 + 4} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{7} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.2

Soustrayez $8 x^{7}$ de $24 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $- 12 x^{11}$ et $24 x^{11}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.3

Additionnez $- 24 x^{7}$ et $16 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 12 x^{3} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.4

Soustrayez $8 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Factorisez $4 x^{3}$ à partir de $12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}$ .

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Étape 2.5.4.1.1

Factorisez $4 x^{3}$ à partir de $12 x^{11}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.2

Factorisez $4 x^{3}$ à partir de $- 8 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.3

Factorisez $4 x^{3}$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.4

Factorisez $4 x^{3}$ à partir de $4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.5

Factorisez $4 x^{3}$ à partir de $4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 {(x^{4})}^{2} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.3

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.5.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 2.5.4.4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $3$ plus $- 5$

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + (3 - 5) u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + 3 u - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.5.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((3 u^{2} + 3 u) - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u (u + 1) - 5 (u + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((u + 1) (3 u - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun à $x^{4} + 1$ et ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

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Étape 2.5.5.1

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de $4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.2.1

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $1 + x^{4}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Étape 4.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 3 x^{4} + 1 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{4} = - 1$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 5.3.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 5.3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 5.3.4.4.2

Élevez $\sqrt[4]{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 5.3.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Étape 5.3.4.4.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Étape 5.3.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3}$ comme $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 5.3.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 5.3.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 5.3.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 5.3.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Étape 5.3.4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Étape 5.3.4.5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Associez $4$ et $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ comme $27$ .

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Étape 9.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.7

Divisez $27$ par $27$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (1 - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.8

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.9.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{27^{3}}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.9.2

Élevez $27$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{19683}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.9.3

Réécrivez $19683$ comme $9^{4} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.9.3.1

Factorisez $6561$ à partir de $19683$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.9.3.2

Réécrivez $6561$ comme $9^{4}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\frac{4 \cdot 9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.9.5

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.11

Annulez le facteur commun à $36$ et $27$ .

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Étape 9.1.11.1

Factorisez $9$ à partir de $36 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.11.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 (3)} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 \cdot 3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ comme $27$ .

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Étape 9.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun à $27$ et $81$ .

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Étape 9.2.4.1

Factorisez $27$ à partir de $27$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Étape 9.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Étape 9.2.7

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Étape 9.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Étape 9.2.9

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{3^{3}}}$

Étape 9.2.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{27}}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

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Étape 9.3.1

Associez $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ et $- 4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{\frac{64}{27}}$

Étape 9.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Étape 9.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 9.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Étape 9.5.2

Factorisez $16$ à partir de $- 16 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Étape 9.5.3

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Étape 9.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Étape 9.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Étape 9.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Étape 9.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Étape 9.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Étape 9.7

Associez $\frac{9}{4}$ et $\sqrt[4]{3}$ .

$- \frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Étape 11.2.2.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ comme $27$ .

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Étape 11.2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Étape 11.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Étape 11.2.2.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Étape 11.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Étape 11.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Étape 11.2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Étape 11.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Étape 11.2.2.4

Annulez le facteur commun à $27$ et $81$ .

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Étape 11.2.2.4.1

Factorisez $27$ à partir de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Étape 11.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.4.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Étape 11.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Étape 11.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Étape 11.2.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Étape 11.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Étape 11.2.2.7

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 11.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 11.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 11.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \sqrt[4]{27} (\frac{1}{4})$

Étape 11.2.6

Associez $\sqrt[4]{27}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $\frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 {(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{27^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4.2

Élevez $27$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{19683}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4.3

Réécrivez $19683$ comme $9^{4} \cdot 3$ .

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Étape 13.1.4.3.1

Factorisez $6561$ à partir de $19683$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4.3.2

Réécrivez $6561$ comme $9^{4}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $27$ .

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Étape 13.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $9 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 (\sqrt[4]{3})}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.6.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.7.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.7.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.3

Multipliez $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.4

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ comme $27$ .

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Étape 13.1.7.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.4.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.7.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.7.6.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7.7

Divisez $27$ par $27$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (1 - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.8

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.9

Associez les exposants.

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Étape 13.1.9.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (4 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.9.2

Associez $4$ et $\frac{\sqrt[4]{3}}{3}$ .

$\frac{- (\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.9.3

Associez $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ et $- 4$ .

$\frac{- \frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.9.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{- \frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.3

Multipliez $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.4

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ comme $27$ .

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Étape 13.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.4.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.6

Annulez le facteur commun à $27$ et $81$ .

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Étape 13.2.6.1

Factorisez $27$ à partir de $27$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.6.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Étape 13.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Étape 13.2.9

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Étape 13.2.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Étape 13.2.11

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{3^{3}}}$

Étape 13.2.12

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Étape 13.3.2

Multipliez $\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ par $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Étape 13.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 13.5.1

Factorisez $16$ à partir de $16 \sqrt[4]{3}$ .

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Étape 13.5.2

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Étape 13.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Étape 13.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Étape 13.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.6.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Étape 13.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Étape 13.6.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Étape 13.7

Associez $\sqrt[4]{3}$ et $\frac{9}{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{3} \cdot 9}{4}$

Étape 13.8

Déplacez $9$ à gauche de $\sqrt[4]{3}$ .

$\frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Étape 15.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Étape 15.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Étape 15.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ comme $27$ .

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Étape 15.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{27}$ comme $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Étape 15.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Étape 15.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Étape 15.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Étape 15.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Étape 15.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Étape 15.2.2.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Étape 15.2.2.6

Annulez le facteur commun à $27$ et $81$ .

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Étape 15.2.2.6.1

Factorisez $27$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Étape 15.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.6.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Étape 15.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Étape 15.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Étape 15.2.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Étape 15.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Étape 15.2.2.9

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 15.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Étape 15.2.4

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 15.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 15.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 15.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \sqrt[4]{27} \frac{1}{4}$

Étape 15.2.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt[4]{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $- \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$ .

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ est un maximum local

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ est un minimum local

Étape 17