Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Étape 2.4.2.2

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Étape 2.4.2.3

Soustrayez $e^{x} \sin (x)$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Étape 2.4.2.4

Additionnez $- e^{x} \cos (x)$ et $\cos (x) e^{x}$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $e^{x}$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Étape 2.4.2.4.2

Additionnez $- e^{x} \cos (x)$ et $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

Étape 2.4.2.5

Additionnez $- 2 e^{x} \sin (x)$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Étape 6

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 6.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 7

Définissez $- \sin (x) + \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- \sin (x) + \cos (x)$ égal à $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.6

Séparez les fractions.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 7.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 7.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Étape 7.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Étape 7.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 1$

Étape 7.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.11.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 7.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 7.2.13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.15

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.2.15.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.15.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.15.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.2.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.15.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 7.2.15.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 7.2.16

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

Étape 11

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 12.2.2

Associez $e^{\frac{π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 14.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 14.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 14.3.4

Réécrivez l’expression.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

Étape 14.4

Multipliez.

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Étape 14.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Étape 14.4.2

Multipliez $e^{\frac{5 π}{4}}$ par $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Étape 15

$x = \frac{5 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{4}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 16.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 16.2.3

Associez $e^{\frac{5 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ est un minimum local

Étape 18