Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{2} + b x + c$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x^{2}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.3.3

Multipliez $b$ par $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.4

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 a x + b + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $2 a x + b$ et $0$ .

$2 a x + b$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$b + 2 a x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $b + 2 a x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Étape 2.1.2

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 a x$ par rapport à $x$ est $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $2 a$ .

$f'' (x) = 2 a$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$b + 2 a x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{2} + b x + c$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x^{2}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 4.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $b$ par $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 4.1.4

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 a x + b + 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $2 a x + b$ et $0$ .

$2 a x + b$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = b + 2 a x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $b + 2 a x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$2 a x = - b$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 a x = - b$ par $2 a$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 a x = - b$ par $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 a$

Étape 9

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 10