Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

Étape 1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez ${(x + 2)}^{3}$ par $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Étape 5.3

Factorisez $4 {(x + 2)}^{2}$ à partir de $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $4 {(x + 2)}^{2}$ à partir de $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Étape 5.3.2

Factorisez $4 {(x + 2)}^{2}$ à partir de $- 4 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

Étape 5.3.3

Factorisez $4 {(x + 2)}^{2}$ à partir de $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.4

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.5

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.6.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.8

Simplifiez

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Étape 5.8.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.8.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

Étape 5.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

Étape 5.9.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

Étape 5.10

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

Étape 5.11

Développez $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.2.1

Déplacez $x$ .

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.3

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.6.1

Déplacez $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.7

Multipliez $16$ par $- 4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.8

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.9

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

Étape 5.12.10

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Étape 5.13

Soustrayez $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Étape 5.14

Soustrayez $64 x$ de $- 32 x$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$