Calcul infinitésimal Exemples

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y - 1$ et $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $y^{2} - y + 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Additionnez $2 y - 1$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Développez $(- y + 1) (2 y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.4

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.5

Multipliez $2 y$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2

Additionnez $y$ et $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- y$ et $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} + 2 y$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (y - 2)$ comme $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$