Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 1}$ par $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.8

Associez les fractions.

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Étape 5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.8.3

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.2.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$