Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{x} + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{e^{x} + 1}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$