Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 2 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Étape 2.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

Étape 2.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

Étape 2.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{2}{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Étape 4.1.4.2.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \ln (x) = - 5$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (x) = - 5$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (x) = - 5$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (x) = \frac{5}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

Étape 5.6

Réécrivez l’équation comme $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = e^{\frac{5}{2}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $e^{\frac{5}{2}}$ dans l’expression.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{5}{2}$ de l’exposant.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 10.2.1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Étape 10.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $5 e^{\frac{5}{2}}$ de $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ est un maximum local

Étape 12