Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 16$ .

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x^{2} + 16$ par $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $- 24$ et $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 1.11.2.2

Multipliez $24$ par $16$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 24 x^{2} + 384$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.3

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.6

Comme $384$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $384$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + 0) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.7

Additionnez $- 48 x$ et $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 16$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.4

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) (2 \cdot ((x^{2} + 16) x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.7.1

Multipliez $\frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ par $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + 0$

Étape 2.5.7.2

Additionnez $- \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$ et $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$g'' (x) = - \frac{- 48 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.2

Réécrivez ${(x^{2} + 16)}^{2}$ comme $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3

Développez $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.4.1.2

Déplacez $16$ à gauche de $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.4.1.3

Multipliez $16$ par $16$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.4.2

Additionnez $16 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 48 (32 x^{2}) - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.6.3.1.6.1

Multipliez $32$ par $- 48$ .

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.6.2

Multipliez $- 48$ par $256$ .

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 12288) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{4} x - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.6.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{1 + 4} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.6.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{1 + 2} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.9.1

Multipliez $- 24$ par $- 4$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $384$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.6.3.1.10.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.10.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11

Développez $(96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 (x^{3} x^{2}) + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{3 + 2} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{2} x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.12.1.3.1

Déplacez $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.6.3.1.12.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{1 + 2}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{3}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.4

Multipliez $96$ par $16$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.1.5

Multipliez $16$ par $- 1536$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.2

Soustrayez $1536 x^{3}$ de $1536 x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 0 - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.1.12.3

Additionnez $96 x^{5}$ et $0$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.2

Additionnez $- 48 x^{5}$ et $96 x^{5}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.3.3

Soustrayez $24576 x$ de $- 12288 x$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $48 x$ à partir de $48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x$ .

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Étape 2.6.4.1.1

Factorisez $48 x$ à partir de $48 x^{5}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.2

Factorisez $48 x$ à partir de $- 1536 x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.3

Factorisez $48 x$ à partir de $- 36864 x$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.4

Factorisez $48 x$ à partir de $48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2})$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.1.5

Factorisez $48 x$ à partir de $48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.4

Factorisez $u^{2} - 32 u - 768$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.6.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 768$ et dont la somme est $- 32$ .

$- 48, 16$

Étape 2.6.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$g'' (x) = - \frac{48 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.5

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 16$ et ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $x^{2} + 16$ à partir de $48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ .

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Étape 2.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 16$ à partir de ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Étape 2.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Étape 2.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$f' (x) = - 24 \frac{d}{d x} \frac{x}{x^{2} + 16}$

Étape 4.1.2

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $x^{2} + 16$ par $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = - 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.9

Associez $- 24$ et $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.11

Simplifiez

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Étape 4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.1.11.2.2

Multipliez $24$ par $16$ .

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 24 x^{2} + 384 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $384$ des deux côtés de l’équation.

$- 24 x^{2} = - 384$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- 24 x^{2} = - 384$ par $- 24$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 24 x^{2} = - 384$ par $- 24$ .

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 24$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 384}{- 24}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 384$ par $- 24$ .

$x^{2} = 16$

Étape 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4, - 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{48 (4) ({(4)}^{2} - 48)}{{({(4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $48$ par $4$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(4^{2} + 16)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $16$ et $16$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $32$ à la puissance $3$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32768}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{192 (16 - 48)}{32768}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $48$ de $16$ .

$- \frac{192 \cdot - 32}{32768}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Multipliez $192$ par $- 32$ .

$- \frac{- 6144}{32768}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun à $- 6144$ et $32768$ .

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $2048$ à partir de $- 6144$ .

$- \frac{2048 (- 3)}{32768}$

Étape 9.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.2.1

Factorisez $2048$ à partir de $32768$ .

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

Étape 9.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

Étape 9.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 3}{16}$

Étape 9.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3}{16}$

Étape 9.5

Multipliez $- - \frac{3}{16}$ .

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Étape 9.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{3}{16})$

Étape 9.5.2

Multipliez $\frac{3}{16}$ par $1$ .

$\frac{3}{16}$

Étape 10

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$g (4) = - \frac{24 (4)}{{(4)}^{2} + 16}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $24$ par $4$ .

$g (4) = - \frac{96}{4^{2} + 16}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$g (4) = - \frac{96}{16 + 16}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $16$ et $16$ .

$g (4) = - \frac{96}{32}$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Divisez $96$ par $32$ .

$g (4) = - 1 \cdot 3$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$g (4) = - 3$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{48 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $48$ par $- 4$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $16$ et $16$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $32$ à la puissance $3$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32768}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 192 (16 - 48)}{32768}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $48$ de $16$ .

$- \frac{- 192 \cdot - 32}{32768}$

Étape 13.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.4.1

Multipliez $- 192$ par $- 32$ .

$- \frac{6144}{32768}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $6144$ et $32768$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $2048$ à partir de $6144$ .

$- \frac{2048 (3)}{32768}$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $2048$ à partir de $32768$ .

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{16}$

Étape 14

$x = - 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 4$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$g (- 4) = - \frac{24 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 16}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Multipliez $24$ par $- 4$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{{(- 4)}^{2} + 16}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{16 + 16}$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $16$ et $16$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{32}$

Étape 15.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1

Divisez $- 96$ par $32$ .

$g (- 4) = 3$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$g (- 4) = 3$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ .

$(4, - 3)$ est un minimum local

$(- 4, 3)$ est un maximum local

Étape 17