Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 + \cos (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 7

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 8

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 9

La solution de l’équation est $x = π$ .

$x = π, π$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (π)$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \sin (0)$

Étape 11.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 0$

Étape 11.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 12

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 12.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Étape 12.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, π)$ dans la dérivée première $1 + \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 12.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Étape 12.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (0) = 2$

Étape 12.2.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 12.3

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(π, \infty)$ dans la dérivée première $1 + \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 12.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Étape 12.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.3.2.1

Évaluez $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Étape 12.3.2.2

Additionnez $1$ et $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Étape 12.3.2.3

La réponse finale est $1.96017028$ .

$1.96017028$

Étape 12.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = π$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 12.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = x + \sin (x)$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 13