Calcul infinitésimal Exemples

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y - 1$ et $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $y^{2} - y + 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.11

Additionnez $2 y - 1$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2

Développez $(- y + 1) (2 y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 1.3.2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2 y$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3.2

Additionnez $y$ et $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Additionnez $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.4

Additionnez $- y$ et $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} + 2 y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Réécrivez $- (y - 2)$ comme $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = - 1$ et $g (y) = \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$g'' (y) = - \frac{d}{d y} \cdot \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.2

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = y - 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \frac{d}{d y} (y - 2) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \cdot 1) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.5.6.1

Multipliez $y - 2$ par $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.5.6.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 u \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 (y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.7.2

Factorisez $y^{2} - y + 1$ à partir de ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $y^{2} - y + 1$ à partir de ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2)$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $y^{2} - y + 1$ à partir de $- 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $y^{2} - y + 1$ à partir de $(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]))$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $y^{2} - y + 1$ à partir de ${(y^{2} - y + 1)}^{4}$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{(y^{2} - y + 1) {(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.14

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.15

Additionnez $2 y - 1$ et $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Étape 2.16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.17

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.17.1

Multipliez $\frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ par $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + 0$

Étape 2.17.2

Additionnez $- \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ et $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18

Simplifiez

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Étape 2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.18.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.1.1

Développez $(y^{2} - y + 1) (2 y - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$g'' (y) = - \frac{y^{2} (2 y) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.1.2.2.1

Déplacez $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.18.2.1.2.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{1 + 2} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 \cdot y^{2} - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.1.2.5.1

Déplacez $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.8

Multipliez $2 y$ par $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.2.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.4

Additionnez $2 y$ et $2 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.1.5.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.1.5.1.1

Déplacez $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.5.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.6

Développez $(- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.18.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y - 1) + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.18.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.1.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{2} y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.1.7.1.2.1

Déplacez $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.18.2.1.7.1.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{1 + 2}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{3}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y \cdot y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.1.7.1.6.1

Déplacez $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 (y \cdot y)) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y^{2}) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.1.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.1.7.2

Additionnez $2 y^{2}$ et $8 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.2

Associez les termes opposés dans $2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y$ .

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Étape 2.18.2.2.1

Soustrayez $4 y$ de $4 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.2.2

Additionnez $2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}$ et $0$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.3

Soustrayez $4 y^{3}$ de $2 y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.4

Additionnez $- 4 y^{2}$ et $10 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2$ .

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Étape 2.18.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2})$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) - (- 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 (1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.9

Réécrivez $- (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ comme $- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g'' (y) = 1 (\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}})$

Étape 2.18.12

Multipliez $\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $y^{2} - y + 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.11

Additionnez $2 y - 1$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.2

Développez $(- y + 1) (2 y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.3.2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2 y$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.1.3.2

Additionnez $y$ et $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.2.2

Additionnez $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2.4

Additionnez $- y$ et $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} + 2 y$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.7

Réécrivez $- (y - 2)$ comme $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (y)$ par rapport à $y$ est $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y (y - 2) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$y - 2 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 5.3.3

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 5.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (y - 2) = 0$ vraie.

$y = 0, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$y = 0, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $y = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1)}{{({(0)}^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0^{2} + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - (0) + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 0 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Étape 9.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 9.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10

$y = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$y = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $y = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$g (0) = \frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0^{2} - (0) + 1}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 - (0) + 1}$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 0 + 1}$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 1}$

Étape 11.2.2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$g (0) = \frac{- 1}{1}$

Étape 11.2.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (0) = - 1$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $y = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1)}{{({(2)}^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 2^{2} + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{2 (8 - 12 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4

Soustrayez $12$ de $8$ .

$\frac{2 (- 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.5

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - (2) + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - 2 + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{3^{3}}$

Étape 13.2.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{27}$

Étape 13.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{- 6}{27}$

Étape 13.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $27$ .

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{27}$

Étape 13.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Étape 13.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Étape 13.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{9}$

Étape 13.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{9}$

Étape 14

$y = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$y = 2$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $y = 2$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$g (2) = \frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - (2) + 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$g (2) = \frac{1}{2^{2} - (2) + 1}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - (2) + 1}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - 2 + 1}$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$g (2) = \frac{1}{2 + 1}$

Étape 15.2.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$g (2) = \frac{1}{3}$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$ .

$(0, - 1)$ est un minimum local

$(2, \frac{1}{3})$ est un maximum local

Étape 17