Calcul infinitésimal Exemples

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $100 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $100 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $40$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $40 y$ par rapport à $y$ est $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $40$ par $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 1.3

Comme $- 5 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez des termes.

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Étape 1.5.1.1

Additionnez $0$ et $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Étape 1.5.1.2

Additionnez $40$ et $0$ .

$40 - 4 y$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 y + 40$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 y + 40$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [40]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (- 4 y) + \frac{d}{d y} (40)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $y$ est $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = - 4 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (40)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$u'' (y) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (40)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u'' (y) = - 4 + \frac{d}{d y} (40)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $40$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $40$ par rapport à $y$ est $0$ .

$u'' (y) = - 4 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$u'' (y) = - 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 y + 40 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $100 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $100 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $40$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $40 y$ par rapport à $y$ est $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $40$ par $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 4.1.3

Comme $- 5 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.1.1

Additionnez $0$ et $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Étape 4.1.5.1.2

Additionnez $40$ et $0$ .

$40 - 4 y$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (y) = - 4 y + 40$

Étape 4.2

La dérivée première de $u (y)$ par rapport à $y$ est $- 4 y + 40$ .

$- 4 y + 40$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 y + 40 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 y + 40 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $40$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = - 40$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 4 y = - 40$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = - 40$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 40}{- 4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 40$ par $- 4$ .

$y = 10$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$y = 10$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $y = 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4$

Étape 9

$y = 10$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$y = 10$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $y = 10$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $y$ par $10$ dans l’expression.

$u (10) = 100 x + 40 (10) - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $40$ par $10$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Étape 10.2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 \cdot 100$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $100$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 200$

Étape 10.2.2

Soustrayez $200$ de $400$ .

$u (10) = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $100 x - 5 x^{2} + 200$ .

$y = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ .

$(10, 100 x - 5 x^{2} + 200)$ est un maximum local

Étape 12