Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 10 x - 8$ et $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 10 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x - 10$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 10 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 10 x - 8$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Étape 6.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = - 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $2$ plus $- 12$

$3 x^{2} + (2 - 12) x - 8 = 0$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x - 12 x - 8 = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 2 x) - 12 x - 8 = 0$

Étape 6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 2) - 4 (3 x + 2) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 4) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 6.4

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 6.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 6.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{2}{3}) - 10$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$6 (\frac{- 2}{3}) - 10$

Étape 10.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} - 10$

Étape 10.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} - 10$

Étape 10.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot - 2 - 10$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 - 10$

Étape 10.2

Soustrayez $10$ de $- 4$ .

$- 14$

Étape 11

$x = - \frac{2}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2}{3}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.7

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{4}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (\frac{4}{9}) - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.10

Multipliez $- 5 (\frac{4}{9})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.10.1

Associez $- 5$ et $\frac{4}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 5 \cdot 4}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.10.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.12

Multipliez $- 8 (- \frac{2}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + 8 (\frac{2}{3}) + 5$

Étape 12.2.1.12.2

Associez $8$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{8 \cdot 2}{3} + 5$

Étape 12.2.1.12.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{16}{3} + 5$

Étape 12.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Multipliez $\frac{20}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - (\frac{20}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{16}{3} + 5$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $\frac{20}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} + 5$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Étape 12.2.2.4

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Étape 12.2.2.5

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Étape 12.2.2.6

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 12.2.2.7

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 20 \cdot 3 + 16 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Multipliez $- 20$ par $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 16 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $16$ par $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.4.3

Multipliez $5$ par $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 + 135}{27}$

Étape 12.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Soustrayez $60$ de $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 68 + 144 + 135}{27}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 68$ et $144$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{76 + 135}{27}$

Étape 12.2.5.3

Additionnez $76$ et $135$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{211}{27}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{211}{27}$ .

$y = \frac{211}{27}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (4) - 10$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 - 10$

Étape 14.2

Soustrayez $10$ de $24$ .

$14$

Étape 15

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 5$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (4) = 64 - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 5$

Étape 16.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 64 - 5 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 5$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$f (4) = 64 - 80 - 8 \cdot 4 + 5$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f (4) = 64 - 80 - 32 + 5$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Soustrayez $80$ de $64$ .

$f (4) = - 16 - 32 + 5$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $32$ de $- 16$ .

$f (4) = - 48 + 5$

Étape 16.2.2.3

Additionnez $- 48$ et $5$ .

$f (4) = - 43$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 43$ .

$y = - 43$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{211}{27})$ est un maximum local

$(4, - 43)$ est un minimum local

Étape 18