Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les minimums et maximums locaux y=x^4-3x^2
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 3
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.2.3
Multipliez par .
Étape 3.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.3.3
Multipliez par .
Étape 4
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 5
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.1.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 6
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 6.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 6.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 6.4
Définissez égal à .
Étape 6.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.1
Définissez égal à .
Étape 6.5.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 6.5.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.5.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.5.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 6.5.2.4
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.4.1
Réécrivez comme .
Étape 6.5.2.4.2
Multipliez par .
Étape 6.5.2.4.3
Associez et simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.4.3.1
Multipliez par .
Étape 6.5.2.4.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.5.2.4.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 6.5.2.4.3.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.5.2.4.3.5
Additionnez et .
Étape 6.5.2.4.3.6
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.4.3.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 6.5.2.4.3.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.5.2.4.3.6.3
Associez et .
Étape 6.5.2.4.3.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.4.3.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.5.2.4.3.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.5.2.4.3.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 6.5.2.4.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.4.4.1
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 6.5.2.4.4.2
Multipliez par .
Étape 6.5.2.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 6.5.2.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 6.5.2.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 6.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 7
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 8
Points critiques à évaluer.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 10
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 10.1.2
Multipliez par .
Étape 10.2
Soustrayez de .
Étape 11
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 12
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 12.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 12.2.1.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 12.2.1.3
Multipliez par .
Étape 12.2.2
Additionnez et .
Étape 12.2.3
La réponse finale est .
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 14
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 14.1.2
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 14.1.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 14.1.2.3
Associez et .
Étape 14.1.2.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1.2.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 14.1.2.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 14.1.2.5
Évaluez l’exposant.
Étape 14.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 14.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.1.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 14.1.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 14.1.5
Multipliez par .
Étape 14.2
Soustrayez de .
Étape 15
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 16
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 16.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 16.2.1.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.2.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.2.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 16.2.1.2.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 16.2.1.2.1.3
Associez et .
Étape 16.2.1.2.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.2.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.1.2.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.2.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.1.2.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 16.2.1.2.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 16.2.1.2.1.4.2.4
Divisez par .
Étape 16.2.1.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 16.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 16.2.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 16.2.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 16.2.1.5
Appliquez la règle de produit à .
Étape 16.2.1.6
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 16.2.1.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 16.2.1.6.3
Associez et .
Étape 16.2.1.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 16.2.1.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 16.2.1.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 16.2.1.7
Élevez à la puissance .
Étape 16.2.1.8
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.8.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.1.8.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.8.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.1.8.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 16.2.1.8.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 16.2.1.9
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.9.1
Associez et .
Étape 16.2.1.9.2
Multipliez par .
Étape 16.2.1.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 16.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 16.2.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.3.1
Multipliez par .
Étape 16.2.3.2
Multipliez par .
Étape 16.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 16.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.5.1
Multipliez par .
Étape 16.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 16.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 16.2.7
La réponse finale est .
Étape 17
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 18
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 18.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 18.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 18.1.3
Multipliez par .
Étape 18.1.4
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1.4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 18.1.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 18.1.4.3
Associez et .
Étape 18.1.4.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1.4.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 18.1.4.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 18.1.4.5
Évaluez l’exposant.
Étape 18.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 18.1.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 18.1.6.2
Annulez le facteur commun.
Étape 18.1.6.3
Réécrivez l’expression.
Étape 18.1.7
Multipliez par .
Étape 18.2
Soustrayez de .
Étape 19
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 20
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 20.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 20.2.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 20.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 20.2.1.3
Multipliez par .
Étape 20.2.1.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.4.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.4.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 20.2.1.4.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 20.2.1.4.1.3
Associez et .
Étape 20.2.1.4.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.4.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 20.2.1.4.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.4.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 20.2.1.4.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 20.2.1.4.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 20.2.1.4.1.4.2.4
Divisez par .
Étape 20.2.1.4.2
Élevez à la puissance .
Étape 20.2.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 20.2.1.6
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 20.2.1.6.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 20.2.1.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 20.2.1.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 20.2.1.7
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.7.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 20.2.1.7.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 20.2.1.8
Élevez à la puissance .
Étape 20.2.1.9
Multipliez par .
Étape 20.2.1.10
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.10.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 20.2.1.10.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 20.2.1.10.3
Associez et .
Étape 20.2.1.10.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.10.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 20.2.1.10.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 20.2.1.10.5
Évaluez l’exposant.
Étape 20.2.1.11
Élevez à la puissance .
Étape 20.2.1.12
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.12.1
Factorisez à partir de .
Étape 20.2.1.12.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.12.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 20.2.1.12.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 20.2.1.12.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 20.2.1.13
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.1.13.1
Associez et .
Étape 20.2.1.13.2
Multipliez par .
Étape 20.2.1.14
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 20.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 20.2.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.3.1
Multipliez par .
Étape 20.2.3.2
Multipliez par .
Étape 20.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 20.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.2.5.1
Multipliez par .
Étape 20.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 20.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 20.2.7
La réponse finale est .
Étape 21
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
est un minimum local
Étape 22